Исследование линейного порядка
Работа посвящена изучению линейного порядка, особенно в конечномерных векторных пространствах.
Используется классический алгоритм упорядочивания пространства.
Порядок рассматривается конструктивно. Дело в том, что есть теорема Цермело, утверждающая существование линейного и даже полного порядка на любом множестве. Однако доказательство использует аксиому выбора и потому неконструктивно, (порядок есть, но его не удаётся построить). В исследовании аксиома выбора будет неявно использоваться.
Пусть
L – n-мерное арифметическое пространство над линейно упорядоченным полем P. Определив порядок в одном множестве, его можно перенести на другое с помощью биекции, или в нашем случае удобнее изоморфизм. Для вещественных чисел можно перенести порядок с помощью биекции, но алгоритм может быть удобнее.Введём отношение
<, используя алгоритм (приведён ниже), и покажем, что это отношение линейного порядка. Действительно, если a<b, то b>a; и b<a не выполняется, значит, отношение антисимметрично.Теперь, пусть
a<b и b<c, причём a и b различаются только k-той координатой, а b и c различаются координатой l (все предыдущие компоненты равны). Возможны 3 случая:В первом случае, a
k<bk<ck, значит, a<c. Во втором ak=bk<ck, значит, a<c. В третьем al<bl=cl, значит, a<c. Следовательно, отношение транзитивно. Из алгоритма очевидно, что оно антирефлексивно, значит, это отношение порядка. Как следует из того же алгоритма, порядок линейный, то есть для любой пары a,b имеет место одно из отношений a=b, a<b или b<a.Рассмотрим вещественное конечномерное пространство. Так как поле действительных чисел линейно упорядочено, это пространство также линейно упорядочено по приведённому алгоритму. То же самое относится к полю комплексных чисел, так как оно образует векторное пространство над полем вещественных чисел. Поле комплексных чисел уже упорядочено, откуда можно линейно упорядочить любое конечномерное пространство над этим полем.
Для вещественных чисел можно перенести порядок с помощью биекции, но алгоритм может быть удобнее. Эта биекция, точнее, цепочка, хорошо известна
: n-мерное пространство « полусфера в n+1-мерном пространстве « n-мерный куб « n бесконечных десятичных дробей – координат « одна бесконечная десятичная дробь, полученная чередованием цифр в определённом порядке « отрезок [0;1] « полуокружность « прямая.Часто в литературе встречается утверждение, что поле комплексных чисел не упорядочено линейно. При этом отрицается существование "хорошего" линейного порядка, а не линейного порядка вообще. Под "хорошим" имеется в виду порядок, для которого выполняются некоторые аксиомы связи с арифметическими операциями. Этих аксиом немного:
a<b Þ a+c<b+c;
a<b Ù 0<c Þ ac<bc.
Из них получаются простейшие следствия, например,
a<b Ù c<0 Þ bc<ac.
Воспользуемся этим для исследования поля комплексных чисел.
Действительно, пусть на поле комплексных чисел задан "хороший" порядок, т. е. линейный, общий также для действительных чисел и
обладающий этими свойствами. Тогда число, например, i, можно сравнить с 0. Если
i>0, то, помножив обе части неравенства на положительное (по предположению) число i, получим –1>0. Противоречие. Иначе, i<0, и, помножая на отрицательное по предположению число i, мы обязаны изменить знак неравенства и получить –1>0. Противоречие. Таким образом, "хорошего" порядка не существует, и имеющийся порядок будет "плохим" и не обладать привычными свойствами. Отсюда видно, что эти свойства имеют аксиоматическую природу.Если поле вполне упорядочено, то конечномерное линейное пространство над ним тоже вполне упорядочено. Действительно, дана система векторов. Рассмотрим множество первых координат её векторов. Оно по условию ограничено снизу. Если в нижней грани более одного элемента, то можно рассмотреть множество вторых координат, и так далее. Верно и обратное, в смысле если поле не вполне упорядочено, то и пространство не вполне упорядочено.
Действительно, рассмотрим
V={v1; v2; …} – подмножество поля, не содержащее в себе своей точной нижней грани (по условию такое найдётся), и систему векторов V'={( v1,0,…,0); (v2,0,…,0);…}, первая координата которых равна элементу из указанного промежутка, а остальные, допустим, нулю.Тогда порядок в
V' копирует порядок V и можно написать inf V'=(inf V,0,…,0)Ï V'. Имеется в виду следующее. Для каждой нижней грани подмножества поля можно построить соответствующий вектор. Он т. о. будет нижней гранью системы векторов.К сожалению, поле вещественных чисел (а следовательно, и комплексных) не вполне упорядочено относительно обычного порядка. Множество гипердействительных чисел в неархимедовом анализе является предметом дальнейшего исследования.
Однако бесконечномерные пространства упорядочить линейно по этому алгоритму невозможно (порядок может быть только частичным).
Можно обратить внимание на то, что порядок зависит от выбора базиса. Это нетрудно проверить. Поэтому рекомендуется фиксировать базис.
Можно рассмотреть обобщение интеграла Римана на любом линейно упорядоченном множестве. Пусть
A1 и A2 – точки линейно упорядоченного множества. Отрезком естественно называть множество точек x таких, что A1£ x£ A2. Теперь можно интегрировать отображение f отрезка [A1;A2] в линейно упорядоченную область. Введём разбиение A1=x0<x1<x2<…<xn=A2 и рассмотрим интегральную сумму Римана вида S f(x i)(xi+1-xi), где x iÎ [xi;xi+1]. Если эти суммы сходятся к некоторому значению, когда наибольший из промежутков разбиения стремится к нулю, то это значение естественно считать значением интеграла.Однако такой интеграл отличается от обычного криволинейного интеграла и не годится для обычных функций.
Его можно обобщить на случай несобственных интегралов 1го и 2го рода и т. д. Аналогию можно продолжить и далее.
Порядок может найти применение в определении метрических: измеряющим множеством будет не множество
R действительных чисел, а множество Rn, C или Cn. Не совсем понятно, какими свойствами должно обладать измеряющее множество; в настоящее время используется только [0;+¥ ).Измеряемое множество может быть ещё более сложно устроено. Возможно, им может быть гиперконтинуум.